Angle Sum Tutorial Series

Below are the tutorials on Angle Sum Theorem. All links point videos on the Sipnayan Youtube channel.  The link to the complete Playlist can be found here.

Lesson 1: A Brief Review of the Concept of Angles
Lesson 2: Proof that The Sum of the Interior Angles of Triangles is 180 degrees
Lesson 3: Proof that The Sum of the Interior Angles of a Quadrilateral is 360 degrees
Lesson 4: Proof that The Sum of the Interior Angles of a Pentagon is 540 degrees
Lesson 5: Sum of the Interior Angles of Any Polygon (Derivation)

Follow us:

Proof of Sum of the Exterior Angles of a Polygon

After proving that the sum of the interior angles of a polygon is 180(n-2), where n is the number of sides, let us now prove that the sum of the exterior angles is 360 degrees. The exterior angle of a polygon is the angle formed after extending one side of a polygon. It is the supplementary of the adjacent interior angle.

The proof uses the polygon angle sum theorem.

The Polygon Angle Sum Proof

The video above shows why the formula for the sum of the interior angles of a polygon with n sides is equal to 180(n-2). The polygon angle sum theorem shows the relationship between the number of sides of a polygon and the sum of its interior angles. The expression n - 2 is the maximum number of triangles that can be formed in a polygon by drawing  non-overlapping diagonals. The video above was labeled as a conjecture because the assumption is that it has not been proven that n - 2 is indeed the number of triangles for all polygons with n sides. If we make this assumption is true, then the conjecture in the video becomes a proof.

Proof that the Quadrilateral Angle Sum is 360 Degrees

After discussing the triangle angle sum proof, we now discuss the quadrilateral angle sum proof. The proof of this theorem comes from the fact that we can divide a quadrilateral into two triangles by drawing a diagonal. Since each triangle angle sum is 180°, the sum of the interior angle of the quadrilateral is therefore 360°.

Watch the video above to know the details of its proof.

Paano i-prove ang Pythagorean Theorem?

This Taglish (mixed Tagalog and English) math tutorial video discusses the proof of the Pythagorean Theorem.

The Pythagorean Theorem states the sum of the squares of the length of the shorter side of a right triangle is equal to the square of its hypotenuse. That is, in a right triangle with sides a and b and hypotenuse c, then c^2 = a^2 + b^2.

Bakit walang SSA congruence?

Ang congruence theorem ay isa sa mga strategies upang malaman kung ang dalawang triangles ay congruent.  Halimbawa, ang SSS congruence ay nagsasabi na kapag tatlong corresponding sides ng dalawang triangles ay congruent, ang dalawang triangles ay congruent. Dalawa pang halimbawa ng congruence theorem ay ang SAS at ASA. Ngayon, bakit walang SSA congruence?

Kung halimbawang may SSA congruence, kapag dalawang makatabing side ay congruent, at ang angle na hindi napagitnaan ng sides ay congruent, dapat ang dalawang triangles ay congruent. Kung makakapagpakita tayo ng isang counterexample, mapapatunayan na natin na walang SSA Congruence.

Ang figure sa itaas ay nagpapatunay na walang SSA Congruence. Sa dalawang triangles, ABC at ABD, ang AC ay congruent sa AD (S), AB ay congruent sa AB (S), at ang angle B ay congruent sa angle B (A). Pero dalawang triangles sila na hindi congruent. Samakatuwid, hindi pwedeng gamitin ang SSA bilang congruence theorem.

Ang circle ba ay polygon na may infinite number of sides?

Tanong

Ang circle ba ay polygon na may infinite number of sides?

Sagot

Kung ginamit ito bilang definition, mali ito. Subalit kung narinig nyo lang ito sa inyong guro o sa ibang tao, mayroon itong mas malalim na ibig sabihin.

Bago ko ipaliwanag ang ibig sabihin nito, tingnan muna natin kung bakit mali ito bilang definition.

Una, makikita natin na kung tatanggapin natin ang ganitong definition ay taliwas ito sa definition ng polygon.  Ang polygon ay hugis na may finite (ito ay nabibilang) number of sides. Kung may infinite number of sides ang circle, malinaw na hindi ito polygon.

Circle

Pangalawa, ang sinasabi na sides ng polygon ay straight line segments. Kung mayroong straight line segment sa bahagi ng circumference ng circle, kahit gaano man kaiksi, may mga bahagi ito na hindi pareho ang layo sa center. Sa sumusunod na mga talata ang paliwanag dito. Continue reading

Ang square ba ay rectangle?

Para masagot natin ang tanong na iyan, tingnan natin ang properties ng rectangle.

  1. Ang rectangle ay may apat na sides.
  2. Ang opposite sides ng rectangle ay parallel.
  3. Ang measure ng interior angles ng rectangle ay 90 degrees.

Ngayon, gumawa tayo ng isang experiment. Palitan natin ang mga word na rectangle ng square sa tatlong sentences.

  1. Ang square ay may apat na sides.
  2. Ang opposite sides ng square ay parallel.
  3. Ang measure ng interior angles ng square ay 90 degrees.

Tama lahat di ba? Dahil pareho ang properties ng dalawa, masasabi natin na ang square ay rectangle. In fact, ang square ay isang espesyal na klase ng rectangle. Ito ay ang rectangle kung saan ang sukat ng lahat ng sides ay magkapareho.

Euclid and the Five Postulates

Si Euclid (fl. 300 BC) ang isa sa pinakamagaling na mathematician sa history ng mathematics. Ang ambag nya sa mathematics ay hindi matatawaran. Ang kanyang aklat na Elements ay ginamit ng mga guro ng mathematics sa loob ng halos dalawang libong taon.

Surviving fragment ng Elements ni Euclid (100 AD)

Ang pinakamalaking contribution ni Euclid sa mathematics ay ang kanyang pag-organize ng Geometry. Sa Elements, inayos ni Euclid ang Geometry sa pamamagitan ng axiomatization o pagbuo nito sa pagsisimula sa mga postulates.  Alam natin na sa mathematics, ay kailangang i-prove ang isang statement para malaman kung ito ay tama o mali.  Ang postulate ay isang statement na tinatanggap kahit walang proof.  Continue reading

The Area Derivation Series

Nakakatuwi na matapos ay ilang araw ay natapos na natin ang Area Derivation Series. Ito ay ang serye ng paliwanag kung paano ang pagkuha ng area ng iba’t ibang uri ng geometric shapes. Ang posts sa area derivation series ay ang mga sumununod:

  1. Introduction to the Concept of Area (Area of a Rectangle)
  2. Area of a Triangle – Bakit Base x Height over 2
  3. Getting the Area of a Parallelogram
  4. Finding the Area of a Trapezoid
  5. What is pi? Saan ba talaga ito nanggaling?
  6. Finding the Area of a Circle

Sa susunod na mga araw ay ating tatapusin ang Law of Exponents Series. Magbibigay din ako ng mga worked out examples,  exercises, ang problems sa area ng mga nabanggit na geometric shapes sa itaas.

Finding the Area of a Circle

Sa nakaraang post, napagaralan natin na ang ratio ng circumference at diameter ng circle ay \pi. Kung iri-represent natin ang circumference ng C at ang diameter ng d, then

\displaystyle\frac{C}{d} = \pi.

Pag nag-multiply tayo ng d sa both sides ng equation, ang makukuha natin ay ang formula ng circumference na

C = \pi d.

Ngayon, dahil ang diameter ay kasing haba ng dalawang radius (d = 2r), pag nagsubstitute tayo, ang makukuha natin ay  C = \pi (2r). Ibig sabihin, ang isa pang formula ng circumference ay C = 2\pi r.

Gagamitin natin ang formula ng circumference para i-derive ang area ng circle. Gagawin natin ito sa pamamagitan ng paghati ng circle na may radius r sa sectors at pagrerearrange gaya ng nakikita sa ibaba. Mapapansin natin na habang parami ng parami ang hati, palapit na palapit ang hugis ng rearranged sectors sa hugis ng parallelogram o rectangle. In any case, pareho ang pagkuha ng area ng rectangle at parallelogram kaya wala tayong problema. Continue reading

What is pi? Saan ba talaga ito nanggaling?

Ang pi o Greek letter na \pi na approximately 3.1416 ay nakikita kahit saan mang field ng mathematics. Pero ano ba talaga ito? Saan nga ba nanggaling ang number na ito?

Bago ko idiscuss ang area ng circle ay nais ko pagtuunan ng pansin ang \pi. Alam natin na ang area ng circle ay \pi r^2, kung saan ang r ay nagreprepresent sa radius.

 

Ang \pi ay ang ratio ng circumference ng circle sa kanyang diameter. Ibig sabihin, kapag sinukat natin ang haba ng circumference at ang haba ng diameter, at dinivide natin (circumference divided by the diameter), ang sagot ay approximately 3.1416 o exactly \pi. At palaging ganito ang quotient (o ratio) kahit gaano man kalaki o kaliit ang circle.

Ayaw nyo manilawala? Hmmm… Subukan nyo. Kuha kayo ng ibat ibat circular na bagay, tapos sukatin nyo. Continue reading

Finding the Area of Trapezoids

Ang trapezoid o trapezium ay isang quadrilateral na mayroong isang pares ng parallel sides. Sa trapezoid sa unang image sa ibaba, ang parallel sides ay nire-represent ng b_1 at b_2. Ang height ay nire-represent ng h.

Ngayon, paaano nga ba natin ang area ng trapezoid?

Ito ang pangapat na post sa Area Derivation Series at dito sa post na ito, pagaaralan natin kung paano ang pagkuha ng area ng trapezoid.

Ang pagkuha ng area ng trapezoid ay pwede nating i-relate sa pagkuha ng area ng triangle at area ng parallelogram. Kung natatandaan ninyo, nung kinuha natin ang area ng triangle, ay dinuplicate natin ang triangle at ipinagdikit upang maging rectangle. Ganun din ang gagawin natin dito. Idu-duplicate natin ang trapeziod at pagdidikitin para maging parallelogram. Continue reading

Getting the Area of a Parallelogram

Natutunan na natin kung paano naderive ang area ng rectangle at area ng triangle. Ito ang pangatlong post sa Area Derivation Series at dito pag-aaralan natin kung papano kukunin ang area ng parallelogram.  Ang parallelogam ay isang quadrilateral na magkasinghaba ang opposite sides at magkapareho ang sukat ng opposite angles.

Katulad ng pagderive natin sa area ng triangle, irirelate natin ang area ng parallelogram sa area ng rectangle. Ang area ng rectangle ay ang product ng base at height (or ang product ng length at width).

So, papano natin gagawing rectangle ang parallelogram?

Pwede tayong gumawa ng right triangle sa pamamagitan ng pagguhit ng vertical line sa isang vertex ng parallelogram katulad ng sa drawing sa itaas. Ang right triangle na ito ay pwede nating “tanggalin” at ililipat sa right hand side. Pagkatapos natin ito gawin, ang nabuong hugis ay isang rectangle. So, kung ang base ng ng rectangle ay b at ang height o altitude ay h,

Area of a Parallelogram =  base \times height.

Ngayon, paano tayo nakakasiguro na ang right triangle ay fit nga kapag nilagay natin sa right hand side ng parallelogram?

Sinisigurado ito ng ASA congruence theorem na ating pagaaralan sa mga susunod na araw. Sa pag-discuss natin ng ASA congruence, babalikan natin ang problem na ito. Sa ngayon,  sa mga alam na ito, iniiwan ko itong isang exercise sa inyo.

Sa susunod na post, pagaaralan natin kung paano kukunin ang area ng trapezoid.

Area of a Triangle – Bakit Base x Height Over Two

Panimula

Sa Introduction to the Concept of Area, nalaman natin ang basic concepts ng area. Ito pala ay ang dami ng squares na pwedeng pagkasyahin sa isang bounded region. Sa Filipino, karaniwang synonymous ang salitang area sa salitang lapad o sukat, although ang salitang lapad o sukat ay translated din na width o length sa English. So, good luck na lang sa kin sa pagpapaliwanang sa Filipino.

Ang post na ito ay pangalawa sa Area Derivation Series.  Dito pag-aaralan natin kung bakit ba ang formula sa pagkuha ng area ng triangle ay base times height over 2.

Balik tayo. Nadiskubre din natin sa previous post na sa pamamagitan ng pagbibilang ng mga squares na  ang formula ng area ng rectangle ay length x width. Syempre, dahil ang square ay may parehong sukat ang length at width, imu-multiply na lang natin ang side length ng square sa kanyang sarili. Halimbawa, kapang ang square ay may side length na 5 units, ang area ng square ay 5 units x 5 units = 25 square units. So, kung side length ng square ay s, ang kanyang area ay s x s or s2.

Continue reading



Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...