Ano ang pagkakaiba ng postulates, axioms, at theorems?

Sa mathematics, ang postulates at axioms ay pareho lamang ang ibig sabihin. Ang salitang postulate ay mas madalas ginagamit sa Geometry, samantalang ang axiom ay mas madalas ginagamit sa Algebra.Ang axioms at postulates ay interchangeable. Ang  mga axioms o postulates ay mga assumptions na  “self-evident truths.”  Ibig sabihin, ito ay assumed at tanggap na na  tama at hindi na hinahanapan ng proof.  Halimbawa, isa sa mga axioms sa Euclidean Geometry na kapag may dalawang points, ay may isang line na dumadaan sa dalawang given points. Ito ay tanggap natin na kahit wala itong proof.

Sa kabilang banda, ang theorems naman ay mga statements o propositions na mayroong proof. Ang proof ay mga argumento na nagpapatunay na ang isang statement ay totoo o hindi. Ang halimbawa sa ibaba ay isang theorem at ang proof nito.

Theorem: Ang sum ng dalawang even integers ay even.

Proof: Sabihin nating ang dalawang even numbers ay m at n. Dahil sila ay even, pareho silang divisible by 2. Samakatuwid, kapag dinivide sila ng 2, magkakaroon sila ng quotients na integer na q_1 at q_2. Yan ay,

\displaystyle\frac{m}{2} = q_1 and \displaystyle\frac{n}{2} = q_2.

Ngayon, kapag iminultiply ng 2 ang dalawang equations, ang makukuha ay

m = 2q_1 and n = 2q_2

Kapag inadd ang m at n, ang makukuha ay

m + n = 2q_1 + 2q_2 = 2(q_1 + q_2).

Ang expression na 2(q_1 + q_2) ay even dahil may factor ito na 2. Ngunit ang 2(q_1 + q_2) ay sum ng m + n o sum ng dalawang even integers. Samakatwid, ang sum ng dalawang even integers ay even. QED.

axioms
Even numbers mula 4 hanggang 28 expressed as sum of two primes

Kung ang isang theorem ay hindi pa napoprove, ito ay tinatawag na conjecture. Ang mga conjectures na ito ay hinahanapan ng mga pure mathematicians ng proof. Isang halimbawa ng conjecture ay ang Goldbach’s conjecture na nagsasabi na kahit anong even integer na mas malaki sa 2 ay pwedeng iexpress as sum of two primes. Halimbawa, ang 20 ay sum ng 13 and 7 at ang 12 ay sum ng 7 and 5. Ang figure sa itaas ay pinapakita na ang numbers mula 4 hanggang 28 ay pwede iexpress as sum of two primes.

Sa axioms o postulates, undefined terms, at definitions, binubuo ang mga theorems. Halimbawa, ang Euclidean geometry ay binuo gamit lamang ang limang postulates in Euclid. Ito ay ginawa ng mathematicians upang maging organisado ang mathematics at upang iwasan ang mga contradictions.

Note: Ang QED ay ang latin phrase na quod erat demonstrandum ay karaniwang nilalagay pagkatapos ng isang proof para sabihin na ito ay tapos na. Sa mas modernong mga libro, tinanggal na ang abbreviation na ito at ginawa nang maliit na black square. 

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...

Leave a Reply