Totoo ba na 0.999… =1?

Oo, 0.999 \cdots = 1.

Bago ko ipaliwanag ang sagot, nais kong bigyang diin na ang number na 0.999 \cdots ay nangangahulugang walang katapusan ang 9  (infinitely many 9’s) papuntang kanan ng decimal point. Ang proof nito ay napakadali lang.

Proof

Alam natin na ang \frac{1}{3} = 0.333 \cdots. I-multiply natin sa 3 ang both sides ng equation, at ang resulta ay 1 = 0.999 \cdots. \blacksquare

Marami pang proofs ang equation sa itaas, pero isang proof lang ay sapat na para masabi natin na ang isang equation (o theorem) ay totoo. Malamang ay nagrerebelde ang isip ninyo sa pagtanggap nito, ngunit kailangan ninyo magaral ng Elementary Calculus para ninyo ito lubos maintindihan. Para sa isa pang paliwaanag, ang 0.999 \cdots ay pwede natin gawing fraction na may infinitely many terms. Ito ay equal sa

\displaystyle\frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \frac{9}{10000} + \cdots.

kung saan ang tatlong tuldok ay nangangahulugang walang katapusan ang number of terms sa kanan. Sa fractions at decimals, parehong makikita natin na habang padami ng padami ang 9’s, palapit ito ng palapit sa 1.

Ngayon, paano naging whole number na 1 ang pag-add ng fractions na may infinitely many terms? Hmmm… Mahirap sagutin sa puntong ito, pero posible ito. Ang patunay  na maari itong mangyari ay ang katulad na equation sa ibaba.

\displaystyle\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots.

Kung ang sum ng preceding expression sa itaas  ay magrerepresent ng area ng square, ang kabuuang area ng lahat ng fractions na may infinitely many terms ay 1.  Ito ay malinaw sa figure sa itaas. Ang paghati sa gitna ng isang buong square na may side length na 1, ay bubuo ng dalawang rectangles na parehong \frac{1}{2} ang areas. Ang isa sa mga rectangles ay hahatiin uli sa gitna para makabuo ng dalwang squares na parehong \frac{1}{4} areas. Pansinin ninyo na kahit ulitin ito ng napakaraming beses, paliit lamang na paliit ang hati. At kung hinati natin into ng infinitely many times, at sum ng lahat nga areas ay equal sa are ng square. Kaya, ang

\displaystyle\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots = 1.

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...

Leave a Reply