Euclid and the Five Postulates

Si Euclid (fl. 300 BC) ang isa sa pinakamagaling na mathematician sa history ng mathematics. Ang ambag nya sa mathematics ay hindi matatawaran. Ang kanyang aklat na Elements ay ginamit ng mga guro ng mathematics sa loob ng halos dalawang libong taon.

Surviving fragment ng Elements ni Euclid (100 AD)

Ang pinakamalaking contribution ni Euclid sa mathematics ay ang kanyang pag-organize ng Geometry. Sa Elements, inayos ni Euclid ang Geometry sa pamamagitan ng axiomatization o pagbuo nito sa pagsisimula sa mga postulates.  Alam natin na sa mathematics, ay kailangang i-prove ang isang statement para malaman kung ito ay tama o mali.  Ang postulate ay isang statement na tinatanggap kahit walang proof. 

Merong 5 orihinal na postulates si Euclid. Ito ay ang mga sumusunod:

  1. A straight line can be drawn using any two points. 
  2. A straight line can be extended indefinitely in a straight line.
  3. Given any straight line segment , a circle can be drawn having the segment as radius and one endpoint as center.
  4. All right angles are congruent. 
  5. If two lines are drawn which intersect a third in such a way that the sum of the inner angles on one side is less than two right angles, then the two lines inevitably must intersect  each other on that side if extended far enough. 
Ang panglimang statement ay ang tinatawag na Parallel Postulate.
Base sa mga postulates sa itaas, at mga paunang mga definitions sa Elements, dinerive ni Euclid ang napakarming theorems sa Geometry.  Halimbawa, pwedeng gumawa ng  triangle gamit ang postulates 1 at  3,  pagkatapos, pwedeng i-prove na ang triangle na nabuo ay equilateral (tingnan ang figure sa ibaba). Galing sa mga postulates at na-prove na theorems ay mabubuo pa ang maraming theorems.

Sa mga nakapagtake-up na ng Geometry, malamang itatanong ninyo bakit hindi kasali ang mga SSS, SAS, at ASA postulates sa lista sa itaas. Strictly speaking, hindi postulates ang SSS, SAS, at ASA congruence o similarity. Ginawa lang silang postulates ng mga educators at authors, para hindi na kailangang i-prove sa klase. Ito ay dahil, hindi naman kailangan ito i-prove sa High School level Geometry.

Dahil sa laki ng ambag ni Euclid sa Geometry, tinawag na Euclidean Geometry ang klase ng Geometry na pinagaaralan natin sa High School. Meron pang ibang klaseng Geometry na hindi Euclidean pero hindi pa natin ito idi-discuss kaagad.

Bago ako magtapos, nais ko bigyang diin na ang tunay na postulates sa Euclidean Geometry ay ang limang nakalista sa itaas at wala ng iba pa. Kung may maririning kayong postulates kagaya ng SSS, SAS, at ASA, ay napagkasunduan lamang ito ng mga math educators para maging simple ang pagtuturo ng mathematics.

Note: Sa blog na ito, pag sinabi kong Geometry, ang ibig ko sabihin ay Euclidean Geometry, unless non-Euclidean ang konteksto.

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...

One Reply to “Euclid and the Five Postulates”

Leave a Reply